Infinitesimi ed infiniti in queste pagine utilizzeremo il

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Le scelte possibili sono, a priori diverse. Si ha:. Da lim g x. Essendo lim. In fine, da lim. Le classi dell'equivalenza ora definita prendono il nome di ordini di infi- nito. E anche:. Inoltre da f g segue f g, mentre non sussiste l'implica- zione opposta. Infiniti e Infinitesimi - Confronto fra gli ordini di infinito. Per ipotesi, si ha:. Si ottiene:. Ord f.

Per verificare che, effettivamente, il limite non esiste, basta osservare che, per gli x del. Ma, non esistendo il lim. Ragionando come nel caso degli infiniti, si prova subito il. Le classi dell'equivalenza ora definita prendono il nome di ordini di infi- nitesimo.

Inoltre da f g segue cazione opposta. Confronto fra gli ordini di infinitesimo. Procedendo come nel caso degli infiniti, si provano i seguenti Teoremi:. Per accertare che, in effetti, il limite non esiste, basta osservare che, per gli x del. Dai Teoremi sul limite del prodotto e delle funzioni composte, segue subito il seguente. Dal Teorema sul limite della somma, segue poi subito il seguente. Principio di sostituzione degli infiniti.

Passiamo agli infinitesimi. Dai Teoremi sui limiti del prodotto e delle funzioni composte, segue subito il seguente. Principio di sostituzione degli infinitesimi. In modo analogo a quanto fatto per gli infiniti, si prova il. Vogliamo ora occuparci di un suo sottoinsieme totalmente ordinato e con- tenente le funzioni elementari.

Ora si ha. Generalizzando questo fatto, si accetta la seguente. Dal Teorema sul limite delle funzioni composte si ottiene subito il. Ord x 0.Cambiare navigazione ReadkonG. Con i Greci, la Matematica diventa una Scienza. Il concetto di infinito ha connotazioni negative. Zenone di Elea, IV secolo a. Archimede a. Wallis nel Arithmetica Infinitorum. Con gli infiniti, compaiono naturalmente in Matematica i loro inversi: gli infinitesimi.

Newton e G. Nicola Oresme ? Finita la divagazione, torniamo alla storia dell'infinito. Va sottolineato che, alla sua epoca, non si disponeva ancora di una precisa e rigorosa teoria generale per questi calcoli. Guido Grandimonaco camaldolese, allievo di G. La ulteriore osservazione. Ma non dobbiamo infatti dimenticare che, in quegli anni, mancava una teoria generale di convergenza e divergenza delle serie. Cantor ed ai suoi numeri transfiniti. Paradosso di Galileo. Infatti ogni numero ha il suo unico quadrato.

Un celebre argomento divulgativo immaginato da D. Abbiamo un albergo completo, in cui ogni stanza N ha il suo ospite N. Arriva un nuovo cliente. Ovvia spiegazione??? Non tutti gli infiniti sono uguali. Vi si introducevano in modo rigoroso i numeri infiniti in Matematica e si elaborava una loro aritmetica, mostrando che essi possono essere sommati, moltiplicati, ordinati proprio come gli usuali numeri naturali, anche se con regole particolarissime e imprevedibili, talora diametralmente opposte a quelle valide in N.

La reazione di Cantor a tutte le sue scoperte: G. Altri commenti entusiastici.Infiniti e infinitesimi.

6 Infiniti e infinitesimi

Definizione 0. Proposizione 1. Principio di sostituzione degli infiniti. Siano f1f2g1g2 infiniti per x x0. Le potenze x sono infinite per xma sappiamo anche facilmente confrontarle tra loro: al crescere di si hanno infiniti di ordine superiore.

Verranno quindi utilizzate come infiniti campione. Questi appunti potrebbero contenere sviste ed errori, vi prego di segnalarmeli, ad esempio via email. Versione del 1. Esercizio fondamentale 1. Utilizzando linfinito campione x riscrivere la definizione precedente per x. Esercizio fondamentale 2. Sia x0 R. Riscrivere tutta la definizione precedente utilizzando tale infinito campione per x0 R. Proposizione 2. Non si tratta di una uguaglianza tra funzioni ma dellappartenenza di f allinsieme delle funzioni che verificano lim.

Proposizione 3. Principio di sostituzione degli infinitesimi Siano f1f2g1g2 infinitesime per x x0. Le potenze x x0 sono infinitesime per x x0ma sappiamo anche facilmente confrontarle tra loro: al crescere di si hanno infinitesimi di ordine superiore. Verranno quindi utilizzate come infinitesimi campione.

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Esercizio fondamentale 3. Riscrivere la Definizione 0. Proposizione 4. Proposizione 5. Esercizio fondamentale 4. Algebra degli infinitesimi Proposizione 6. Nota finale Su diversi testi si possono trovare notazioni differenti per le definizioni di ordine di infinito e ordine di infinitesimo. Lo studente che utilizzi altri testi confronti preliminarmente le definizioni con le nostre per evitare errori.

Leia gratuitamente por dias Entrar. Muito mais do que documentos Descubra tudo o que o Scribd tem a oferecer, incluindo livros e audiolivros de grandes editoras. Iniciar teste gratuito Cancele quando quiser. Enviado por Emanuele Stillitani. Data de envio Sep 01, Denunciar este documento.

Baixe agora. Relazione Di Seminario. Meury Carrasquero. Pesquisar no documento.Rimandando a differenzialecalcolo ; integralecalcolo per i metodi e i risultati che caratterizzano queste due dottrine, ne considereremo qui, da un punto di vista sintetico, lo sviluppo storico. Quest'ordine di idee ricevette una prima sistemazione rigorosa col metodo d'esaustione v. StifelF. Poco dopo B.

Cavalieri pubblica la sua Geometria degli indivisibilidove considera le superficie generate dal moto di linee, i solidi dal moto di piani, idea che prima di lui aveva emessa anche B. Sovero Era convinzione degli storici della matematica che i metodi di dimostrazione da lui usati nelle opere a noi giunte non segnassero le vie, per cui era arrivato alle sue grandi scoperte.

Guldin e A. Tacquetmentre d'altra parte esso fu accolto e applicato da parecchi matematici dell'epoca, quali J. WallisE. Torricelli e B. Pascalper non dire dei minori. Era una vera crisi che colpiva la matematica; essa veniva meno alla sua tipica rigidezza, accogliendo concetti non chiaramente definiti e proposizioni non dimostrate. Sotto altra forma si manifestava ancora la crisi.

Era stato osservato N. Barrow e altri insegnano a sostituire a un arco piccolissimo di curva l'elemento corrispondente di tangente.

Si trattava in tutti i casi di sommare infiniti prodotti aventi un fattore infinitesimo strisceo di determinare il rapporto di due segmenti infinitesimi proiezioni dell'elemento d'arco su due assi ortogonali. Restavano pertanto due passi da fare: stabilire delle regole per eseguire le due operazioni fondamentali; e fissare il significato della parola "infinitesimo", che figurava nelle loro definizioni. Logicamente questo secondo passo avrebbe dovuto precedere il primo; fu fortuna per la scienza che accadesse il contrario.

Il limite appare; per la prima volta, con nomenclature diverse, nell'opera De Beginselen der Weegconst di S. Stevin, in Geometriae speciosae elementa di P. Mengoli, in Vera circuli et hyperbolae quadratura di J. Gregory, e, poco dopo, nei celebri Principia di I. Newton e G. In un opuscolo di poche pagine Nova methodusecc. Newton e Leibniz seppero trarre il miglior partito da questo risultato.

Prima di loro, eseguire quello che noi diciamo un'integrazione significava cercare il limite di una somma di termini variabili la cui grandezza singola diminuisce indefinitamente mentre cresce indefinitamente il loro numero; e ognuno sa quale somma d'ingegno abbiano speso i geometri, da Archimede a Kepler e a Cavalieri, per riuscire a determinare nei singoli casi un tale limite. Trovato il nesso esistente tra le due operazioni fondamentali del calcolo, per integrare una funzione bastava trovare una funzione di cui questa fosse la derivata.

Euler In queste pagine troverai consigli su come iniziare a dipingere ad olio e come continuarlo a fare. Vorrei dare un nuovo contributo, ma spesso rimango deluso dal web. Ad esempio, poco tempo fa mi hanno per l'ennesima volta distrutto il forum e sono stato costretto ad eliminarlo per sempre. Molti forum scopiazzano dal mio e molti sono i siti che traggono da me notizie.

Con il tempo, speriamo che ci sia, queste pagine diventeranno numerose, e saranno di vero aiuto per chi realmente si dedica per la prima volta, e non solo, sia alla pittura, sia al disegno.

Elenco alfabetico di validi pittori dell'iperrealismo del realismo e della pittura figurativa. Viene riportato il link al sito personale dell'artista. Vengono indicate tutte le fasi, dal disegno alla progettazione, dalla storia alla sceneggiatura, per realizzare un fumetto. Se sei amante dei fumetti e vuoi realizzarne uno, devi assolutamente leggere questa sezione. Un elenco dei principali film che hanno avuto importanza storica nel mondo dell'arte pittorica. Con questa rubrica vi vogliamo incoraggiare a vedere questo genere di film che permettono di vivere, sotto un certo aspetto, la storia della pittura.

Ha esposto le sue opere in numerose mostre collettive e private. I dipinti vengono esposti solo ai fini conoscitivi, e non sono in vendita. Nella sezione "Vincenzo Iacobelli" troverete la sua storia, le sue idee, i suoi sogni e le critiche pittoriche ricevute da critici d'arte o anche da semplici amici.

In "Diario del pittore". Ultimo aggiornamento effettuato il Buona lettura. Iperrealismo, realismo e arte figurativa Iperrealismo, realismo e arte figurativa Elenco alfabetico di validi pittori dell'iperrealismo del realismo e della pittura figurativa. Corso di disegno. Corso di pittura. Iperrealismo, realismo e arte figurativa. Iperrealismo, realismo e arte figurativa Elenco alfabetico di validi pittori dell'iperrealismo del realismo e della pittura figurativa.Aristotelefilosofo vissuto nel IV sec.

Nella sua visione del mondo, tutti gli oggetti erano costituiti da un numero finito di monadi, minuscole particelle, simili agli atomi, che costituivano il sottomultiplo comune a tutti i segmenti. Secondo lui, il divino risiedeva nella completezza, nel finito. Ma il pensiero pitagorico fu messo in crisi dalla scoperta di grandezze incommensurabili, ovvero che non ammettono denominatori comuni con altre grandezze e questo fu il primo approccio, non molto gradito, con una forma di infinito attuale.

Attorno al a.

L’infinito nella storia della filosofia

Supponiamo inoltre che Achille dia mezzo metro di vantaggio alla tartaruga. A questo punto nasceva un quesito: era possibile che alla fine di questo procedimento algoritmico si arrivasse ad un poligono con sufficienti lati tali da poter essere considerati archi infinitesimali della circonferenza stessa? Aristotele contraddisse le sue affermazioni dal momento che Antifonte vedeva la circonferenza come un infinito attuale, non potenziale.

Si ripropone di nuovo, dunque, il concetto di infinito come processo di eccetterazione e quindi come infinito potenziale. Sempre nel III sec. Tre queste:. Chiamiamo equinumerosi due insiemi che possono stabilire una corrispondenza tale che ad ogni elemento del primo insieme si possa collegare un solo elemento del secondo e viceversa, viene quindi creata una corrispondenza biunivoca. Basta provare se ci sia una corrispondenza biunivoca:. Si potrebbe andare avanti quanto si vuole e si troverebbe sempre una corrispondenza tra i due insiemi.

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Ecco le loro opinioni a riguardo:. Anassimandro VI sec. Anassagora V sec. Secondo lui, in origine tutto era mescolato insieme e la nascita delle cose avviene per separazione da altre cose. Democrito di Abdera V sec. Gli Stoicila cui scuola filosofica fu fondata ad Atene nel IV sec. Plotino III sec. Alla fine del IV sec.

Alla fine del III sec. Troviamo durante la dinastia degli Han posteriori I sec. Tuttavia, i Cinesi non si occuparono molto di cosmologia, ma soprattutto di astronomia per determinare la data delle congiunzioni tra Sole, Luna e pianeti, che fu il punto di partenza per la formazione del calendario. Eccone alcuni: Il paradosso dei quadrati. I numeri quadrati sono solo una parte dei numeri naturali. Il paradosso della ruota.

Egli era convinto che questo metodo, se bene applicato, non potesse condurre ad errori, ma i fedeli di Archimede sollevano contro di esso numerose obiezioni. Emerge qui la distinzione risalente ad Aristotele fra infinito in atto ed infinito in potenza, che avrebbe costituito uno dei temi centrali dei dibattiti intorno al nuovo calcolo.

Sulla linea di Cavalieri, invece, troviamo Evangelista Torricellifisico e matematico, il primo a misurare la pressione atmosferica. E se si propone di considerare un solido oppure una figura piana infinitamente estesa ciascuno pensa subito che una figura di questo genere debba essere di grandezza infinita. Galileo diede un contributo decisivo a questo sviluppo, iniziando lo studio sistematico della cinematica. Gli antichi matematici greci avevano preso in considerazione solo pochi tipi di curve, ideando di volta in volta qualche metodo particolare per la determinazione delle tangenti alle principali fra esse circonferenze, ellissi.

Cosa sono esattamente questi due tipi di calcoli? Ad esempio, x potrebbe rappresentare la variabile temporale e y lo spazio percorso da un corpo in moto nel tempo x.Abbiamo inventato delle grandezze infinitesime e infinite, abbiamo inventato degli strumenti mentali che permettono di vederle in una nuova retta dei numeri, la retta iperreale.

Ma chi ci dice che queste cose possano essere considerate dei numeri? Per potersi fregiare del titolo di numeri devono essere in grado di sostenere le operazioni e magari anche il confronto. Abbiamo chiamato standard i segmenti e i numeri che abbiamo sempre usato: i segmenti che hanno misura finita e i numeri finiti. I segmenti e i numeri infinitesimi o infiniti sono non standard.

Possiamo sintetizzare alcuni fatti:. Tutti i numeri standard sono finiti e, a parte lo zero, non infinitesimi. Ma non tutti i finiti non infinitesimi sono numeri standard, pur escludendo 0. I reciproci dei numeri infinitesimi per es. Sommare un fni con un inn:. Il caso particolare, che a sia finito, molto piccolo e vicino a zero, si visualizza con gli opportuni ingrandimenti. La somma fra due fni propone vari casi: seallora. La tabella sintetizza i possibili casi. Dal Teorema di Talete si ricava:.

Immaginiamo il prodottocon i punti U e A talmente vicini sulla stessa retta da potersi distinguere solo con un microscopio non standard. Il prodotto. Anche moltiplicare un infinito per un infinitesimo non nullo richiede qualche riflessione. Per es.

Questi casi, che si verificano anche nella somma, si chiamano forme indeterminate. Vale comunque:. La seconda tabella nella Figura 6. Infine nello stesso modo regoleremo il rapporto fra un I e un I, che risulta indeterminato. La tabella riassume tutti questi ragionamenti intuitivi.

Come provare in modo esatto e formale che queste regole sono coerenti con le definizioni date ai numeri iperreali? Analisi non standard latest. I numeri iperreali Introduzione Uso degli infinitesimi e degli infiniti Altri problemi introduttivi Strumenti per vedere gli iperreali Esistenza degli infinitesimi e degli infiniti Iperreali e 4 operazioni Iperreali: chi sono, quanti sono e come chiamarli Quanti sono i numeri non standard?

Come indichiamo gli Iperreali? Quindi tutti gli standard sono finiti. Per lo stesso motivo, anche gli infinitesimi sono finiti. Quanti sono i numeri non standard?

Tavola delle somme.


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